Un cadran solaire sans style

Jean Pakhomoff

 

 

Soit le cadran solaire OO'A de style OO' = l à une latitude f.

Le style droit est alors O'A = l sin f. Les lignes horaires tabulaires se tracent depuis le point O point d'émergence de l'axe des pôles sur l'horizon.

Celles-ci répondent à la relation classique

tg T = tg t sin f où T est l'ang

le tabulaire correspondant à l'angle horaire t sur l'horizon de latitude f.

 

fig 1

 

heures du matin

 

Gardons le point A et supprimons le gnomon droit O'A.

Tout personnage de taille égale à O'A se plaçant en A donnera l'heure juste sur ce cadran sans style.

Nous allons étudier ci-dessous le cas où la taille du personnage est différente de O'A.

A Nice existe un tel cadran au quai Rauba Capeu:

 

Choisissons un point Q où AQ<AO'. Le raisonnement est identique si AQ>AO'.

On pose AQ = l'

Le rayon solaire passant par O' vient mourir sur le point P à l'intersection des cercles horaires et d'azimut  avec l'horizon de latitude f.

On note z l'azimut du soleil, h sa hauteur et T l'angle horaire tabulaire correspondant à t.

Le rayon passant par Q vient lui mourir en P' sur la trace azimutale.

En joignant O à P' on obtient une ligne horaire tabulaire d'angle T' = P''OP' où P'' est la projection de P' sur l'axe méridien nord-sud.

On appelle d la déclinaison du soleil (date du jour).

Le triangle AP'Q donne tg h = l'/AP' et AP' = l'/tg h

Dans AP'P'' on a P'P'' = x = AP' sin z = l' sin z / tg h     y = AP'' =

AP' cos z = l' cos z /tg h

On a O'A / OA = tg f et OA = O'A / tg f = k

OP'P'' donne tg T' = P'P'' / OP'' = P'P'' / (AP'' + OA) et tg T' = x / (y + k)

On calcule h par la relation classique sin h = sin d sin f + cos d cos f cos t

et z par la relation classique tg z = sin t / (cos t sin f – tg d cos f)

Connaissant tg T' on obtient l'angle horaire t' correspondant (tg t' = tg T' / sin f) et on peut alors apprécier la différence lue sur le cadran

par rapport à l'heure t du gnomon origine O'A.

Si AQ > AO' alors T' > T et t' > t

Il faut envisager 2 cas:

a) heures du matin

C'est le cas de la figure 1. Le fait de diminuer l'angle tabulaire va correspondre à une avance sur le cadran (AQ < AO') et inversement

l'augmentation de cet angle correspondra à un retard (AQ > AO').

b) heures de l'après-midi

fig 2

 

C'est le cas de la figure 2.

C'est ici l'inverse. La diminution de l'angle va correspondre à un retard (AQ < AO') et l'augmentation de cet angle (AQ > AO')

correspondra à une avance.

Nous tiendrons compte de cela dans le programme basic ci-dessous.

3 REM  cadnic

4 PI=4*ATN(1)

5 OPEN "cadnic.docx" FOR OUTPUT AS #1

7 REM ll longueur du grand gnomon (cadran d'origine);  l longueur choisie du petit gnomon

9 INPUT "longueur du gnomon d'origine?", LL

11 INPUT"longueur choisie du gnomon variable ?", L

20 INPUT"déclinaison choisie?", D:D=D*PI/180

30 INPUT"latitude choisie?", F:F=F*PI/180

40 INPUT"heure choisie système centésimal matin<12, soir >12 ?", T:QQ=T

42 IF T<12 THEN T=(12-T)*PI/12:GOTO 45:REM 1/12=15/180 transformation de l'angle horaire en radians

43 T=(T-12)*PI/12

45 REM calcul de la hauteur par l'arc tangente (h<90°)

50 H=SIN(D)*SIN(F)+COS(D)*COS(F)*COS(T)

55 H=ATN(H/SQR(1-H*H))

56 ASD = -TAN (D)*TAN (F): ASD = ATN(SQR(1-ASD*ASD)/ASD):IF ASD<0 THEN ASD=ASD+PI

57 IF T>ASD THEN PRINT "Le soleil se lève à";12- ASD*12/PI;" et se couche à ";12+ASD*12/PI;

" Choisir un angle horaire < ASD":GOTO 120

60 Z=ATN(SIN(T)/(COS(T)*SIN(F)-TAN(D)*COS(F)))

65 if z<0 then z=z+pi

70 X=L*SIN(Z)/TAN(H):Y=L*COS(Z)/TAN(H)

75 K=LL/TAN(F)

80 TT=ATN(X/(Y+K))

85 if tt<0 then tt=tt+pi

90 U=ATN(TAN(TT)/SIN(F)):REM   relation classique tgH=sin f tg t permettant de

trouver l'angle tabulaire correspondant à l'angle horaire

95 if u<0 then u=u+pi

100 UU=(U/15)*180/PI:REM transformation de l'angle en heure

105 IF QQ<12 THEN UU= 12-UU:GOTO 110

108 UU=12+UU

110 PRINT "t=";QQ;"  t'=";UU;"  f=";F*180/pi;"  d=";D*180/pi;"  ll (O'A)=";LL;"  l (QA)=";L;" k (OA)=";K:REM 12/pi=180/15/pi

115 PRINT # 1,"t=";QQ;"  t'=";UU;"  f=";F*180/PI;"  d=";D*180/PI;"  ll (O'A)=";LL;"  l (QA)=";L;"  k (OA)=";K

120 INPUT"autre exemple=a; fin=f",N$

130 IF N$="a" THEN 9

140 END

Les coordonnées google earth du cadran niçois sont de 43°41'36,61'' pour la latitude et de -7°16'44,69'' pour la longitude.

On peut évaluer les différences d'heures lues sur le cadran niçois pour des individus placés au point A mesurant 1,9 m et 1,3 m

sachant que le cadran a été calculé pour une taille de 1,70 m.

On fera les calculs pour une déclinaison arbitraire de -15° (3 novembre et 8 février)et pour les heures suivantes:  9h, 11h, 14h et 16h

heure solaire juste              taille 1,3 m               taille 1,9 m             

pour 1,70 m

9 h                                      9h 11' 10''                           8h 55' 54''

11 h                                    11h 6' 6''                             10h 57'36''

14 h                                    13h 49' 38''                         14h 3' 58''

16 h                                    15h 52' 22''                         16h 2' 41''

Pour une valeur AO' égale à 1.8  m et deux autre valeurs égales à 1.2 m et 2.2 m à une latitude de 50° pour une déclinaison de – 16° on obtient pour les heures 9 et 15:

9h                                       9h 11' 36''                           8h 55' 28''

15h                                     14h 48'24''                           15h 4' 32''     

Pour terminer voyons pour cette latitude de 50° le résultat obtenu à 8h et 18h pour la déclinaison 23,45° du jour de l'été:

8h                                        8h 37' 24''                            7h 44' 16''

15h                                     14h 25' 30''                         15h 15' 55''   

18h                                     17h 35' 37''                         18h 8' 54''

A la vue de ces quelques résultats on doit pouvoir conclure que la lecture d'un cadran solaire sans style reste possible

avec une erreur somme toute assez négligeable puisque sous nos latitudes celle-ci a pour maximum environ ½ heure

selon la taille du sujet porteur d'ombre.

On remarque que la douzième heure est décalée par rapport à la méridienne.

Le cadran a été construit en tenant compte de l'horaire d'hiver et de la longitude de Nice.

Ainsi toutes les heures sont décalées pour donner au plus juste l'heure civile d'hiver.

Il ne reste plus qu'à faire la correction de l'équation du temps ce qui est possible par son graphique dessiné près du cadran.

Midi solaire à Nice = 12 – 4' x 7,279° à Greenwich  +1 h d'hiver = 12h 30' 53'' à la montre + ou – la valeur

de l'équation du temps du jour de lecture.

L'erreur entraînée par la différence de taille se mélangeant sans cesse aux corrections de l'équation du temps

s'aggrave ou s'amenuise selon les semaines de l'année et donne finalement un cachet tout particulier à ce type de cadran.

Le point A convient à la taille d'un sujet de 1,70m mais d'autres sujets de tailles différentes pourraient également

donner l'heure juste tout simplement en marquant d'autre points de repères sur la méridienne.

 

En s'appuyant sur la relation O'A / OA = tg f on trouvera les distances OA en rapport avec les tailles choisies.

Ainsi la valeur de OA pour une taille de 1,7m est de 1,78m. C'est l'emplacement du repère sur la méridienne de ce cadran.

Pour 3 autres tailles (adultes enfants) ci-dessous on pourrait mettre 3 autres repères:

taille en m               valeur de OA en m 

       1,7                              1,78

       1,9                              1.98

       1.5                              1.57

       1.3                              1.36

       1                               _1.04

Mais le cadran perdrait de son mystère.

Jean Pakhomoff  le 16 1 2021

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